Paradojas matemáticas (1ª parte) La paradoja de Monty Hall

Comenzamos nuestra serie sobre paradojas matemáticas con una especialmente sorprendente, la paradoja de Monty Hall. Este problema está inspirado en un concurso de televisión llamado Let's Make a Deal y presentado por Monty Hall (de ahí el nombre de la paradoja).

El concurso se basaba en los siguiente: Un concursante se sitúa frente a tres puertas cerradas. Detrás de una de estas puertas hay un coche, y detrás de las otras hay dos cabras (véase la primera imagen). Evidentemente, el objetivo del concursante es adivinar en cuál de ellas está el coche escondido, sin tener ninguna pista disponible.

Imaginemos que nosotros somos el concursante en cuestión. Como es lógico, este primer paso es puro azar, ya que no podemos adivinar de ninguna manera lo que hay detrás. Sea como sea, debemos elegir qué puerta queremos escoger, basándonos únicamente en la intuición. Una vez hayamos elegido, el presentador (que sabe lo que se esconde detrás de cada puerta) nos interrumpe y nos ofrece una ayuda un tanto extraña: Abre una de las puertas que están ocupadas por cabras, por lo que nos descarta una opción.

De esta forma, al concursante se le presenta la siguiente situación: De tres puertas, una de las ocupadas por una cabra está abierta y descartada, por lo que queda una ocupada por el coche y otra ocupada por la cabra restante. Pero, como recordaréis, antes de que el presentador descartara a una de las cabras, nosotros ya habíamos elegido una opción.

Ahora bien, después de ver esta acción por parte del presentador, se nos da la posibilidad de nuevo de cambiar nuestra elección: ¿Debemos mantener nuestra primera opinión o cambiamos a la otra puerta restante? ¿Hay alguna diferencia? ¿O da lo mismo que hagamos una cosa u otra? Si os sirve como apoyo para resolver el problema, aquí tenéis un resumen del enunciado en unas pocas líneas, hecho por Craig F. Whitaker:

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

¿Has decidido ya qué es mejor? Bien, seguramente la intuición os habrá sugerido a muchos que da lo mismo que cambiemos de posición o que mantengamos la inicial, seguramente esto no influirá en el resultado final... Pero es un razonamiento completamente erróneo. Lo cierto es que nuestra decisión sí influye (y mucho más de lo que parece), ya que ganar el coche es mucho más probable si cambiamos de puerta ¿Cómo podemos demostrarlo? Basta con aplicar un poco de probabilidad.

Cuando en nuestra primera elección escogimos entre una de las tres puertas, la probabilidad de llegar al coche era de 1/3. O, dicho de otra forma, tenías 2/3 de probabilidad de escoger una puerta en la que se escondiera una de las cabras. Entonces, llega el presentador y abre una de las puertas en las que está encerrada una cabra.

Y aquí llega el problema: ¿Qué es lo primero que dicta nuestra intuición? Seguramente nos dirá que ahora hay un 50% de probabilidad de que el coche se esconda en nuestra puerta y otro 50% de que se esconda en la que no hemos elegido, por lo que no importa nuestra decisión. Sin embargo, este argumento está completamente equivocado. Esto es así porque nuestra primera decisión influyó en la acción del presentador. Vamos a explicarlo de forma más sencilla con matemáticas:

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta del coche (1/3 de probabilidades), al cambiar nosotros de puerta en el segundo paso habremos perdido, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al cambiar de puerta tras la acción del presentador tenemos una posibilidad de perder sobre tres.

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta de una cabra (2/3 de probabilidades), al cambiar nosotros de puerta en el segundo paso habremos ganado, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al cambiar de puerta tras la acción del presentador tenemos dos posibilidades de ganar sobre tres.

¿Qué pasaría si en vez de cambiar de puerta nos quedamos con nuestra puerta original? Comprobémoslo de la misma forma que antes:

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta del coche (1/3 de probabilidades), al quedarnos en la misma puerta en el segundo paso habremos ganado, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al quedarnos en la misma puerta tras la acción del presentador tenemos una posibilidad de ganar sobre tres.

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta de una cabra (2/3 de probabilidades), al quedarnos en la misma puerta en el segundo paso habremos perdido, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al cambiar de puerta tras la acción del presentador tenemos dos posibilidades de perder sobre tres.

En resumen: Si cambiamos de puerta tras la revelación del presentador, tendremos un 66% de posibilidades de ganar (2/3=0'66, es decir, 66%), mientras que si mantenemos nuestra puerta inicial sólo tendremos un 33% de posibilidades de ganar (1/3=0'33, es decir, 33%). Esta diferencia es más que suficiente para determinar que lo mejor que podemos hacer cuando se nos ofrezca la posibilidad de cambiar es elegir la otra puerta.

Y, si las matemáticas no han sido suficientes y os habéis quedado con ganas de más demostraciones, en este enlace tenéis un interesante juego que recrea el concurso y que os ayudará a ver cómo se cumple esta paradoja. Probad y probad todas las veces que queráis, apuntad vuestros resultados si os parece bien, y veréis cómo se cumple con una precisión pasmosa las matemáticas de este problema.

PD: Esta entrada es mi primera participación al VII Carnaval de Matemáticas, iniciativa que en esta ocasión organiza el blog "El máquina de Turing".

Fuentes

Problema de Monty Hall - Wikipedia
1ª imagen
2ª imagen: Es de diseño propio, aunque realizada a partir de ésta y ésta.
3ª imagen