Paradojas matemáticas (2ª parte) La paradoja de los cuatro hijos

Continuando con nuestra guerra contra la intuición, hoy veremos una paradoja que se presenta muy frecuentemente en la vida diaria, la paradoja de los cuatro hijos. Como dije en anteriores entradas, la lógica matemática nos dará la solución, por muy improbable que sea en un principio. Dicho esto, comencemos con el problema de hoy:

Un día, un joven matrimonio decidió tener hijos. El marido, muy previsor, empezó a echar cuentas y le preguntó a su esposa:

"Querida, ¿cuántos hijos vamos a tener?"

Su esposa, que lo tenía bastante claro, le respondió que quería tener exactamente cuatro vástagos. Su esposo se mostró de acuerdo y empezaron a preparar las habitaciones necesarias para ellos. En ese momento, cuando estaban construyendo una casa lo suficientemente grande para sus cuatro hijos, surgió una nueva duda:

"¿Y qué vamos a tener, niños o niñas? ¿Serán todos del mismo sexo?"

La pareja se puso a reflexionar sobre este nuevo problema: Evidentemente, no había forma humana de saber con exactitud el género de sus futuros hijos, pero podían hacer alguna aproximación sobre la cantidad de niños o niñas que tendrían. La primera conclusión que sacaron fue que lo más extraño sería que los cuatro hijos fueran todos del mismo sexo. Seguramente, de los cuatro tendría que salir alguno diferente.

Pero, ¿cuál sería la cifra más aproximada? ¿Cuántas chicas y chicos era más probable que tuvieran? Su conclusión fue bastante intuitiva: Lo más probable es que tuvieran dos niños y dos niñas, es decir, la mitad. El padre estaba convencido de su decisión. Al fin y al cabo, la posibilidad de que su hijo fuera chico o chica era de un 50%, por lo que estaba claro que debían de tener la mitad de un género y la otra mitad de otro.

Sería como lanzar una moneda: Cada hijo podría ser niño o niña (1/2 de probabilidades), así que al final lo más probable sería que, de los cuatro, hubiera dos niñas y dos niños, cumpliéndose así la probabilidad planteada.

¿Estaba en lo correcto? La madre empezó a dudar, pero la lógica que su esposo proponía era aplastante. ¿Tendrían entonces dos niños y dos niñas? ¿O algo estaba fallando en su razonamiento? Y, en caso de que fallara, ¿cuál sería la cifra más probable de chicos y chicas que tendría el matrimonio?



Como ya habréis supuesto, el marido estaba cometiendo un grave error. Antes de seguir, para ver mejor la situación y aclararlo todo, vamos a realizar un esquema en el que se pueden ver todas las combinaciones posibles a la hora de tener cuatro hijos. Las niñas las representaremos con una M (de mujer) y a los niños con una H (de hombre):

M-M-M-M
M-M-M-H
M-M-H-M
M-M-H-H
M-H-M-M
M-H-M-H
M-H-H-M
M-H-H-H
H-M-M-M
H-M-M-H
H-M-H-M
H-M-H-H
H-H-M-M
H-H-M-H
H-H-H-M
H-H-H-H

Esta aclaradora tabla da como resultado un total de 16 diferentes combinaciones. Ahora, para demostrar la falsedad del enunciado del marido, basta con contar las posibilidades.

En primer lugar, vemos que la posibilidad de que los cuatro hijos sean del mismo sexo es de 2/16 (es decir, sólo tienen un 12'5% de posibilidades). Por lo tanto, su primera premisa era correcta.

Sin embargo, la propuesta principal de la pareja falla estrepitosamente. Vamos a contar las veces que se repite una combinación de dos chicas y dos chicos. Como resultado, obtendremos 6/16, es decir, sólo hay un 37'5% de posibilidades de tener una pareja de cada sexo, mientras que nuestra intuición decía que esto era lo más probable.

Entonces, ¿qué es lo más normal en un matrimonio con cuatro hijos? Aunque resulte difícil de creer, si contamos las opciones en la tabla obtendremos como resultado que las posibilidades de tener un hijo de un sexo y otros tres de diferentes sexo (es decir, un niño y tres niñas, o una niña y tres niños) es lo más normal, ya que obtenemos 8/16, es decir, un 50% de probabilidades.

Resumiendo, esta sencilla tabla demuestra que la mitad de los matrimonios con cuatro vástagos tendrán un hijo y tres niñas o una hija y tres niños. De nuevo, nuestra primera impresión ha fallado.

Por supuesto, también podemos demostrar esta paradoja de forma experimental, usando para ello una moneda. Imaginemos que si sale cara, tenemos un chico, y si sale cruz una chica. Tras lanzar la moneda cuatro veces seguidas durante varias rondas, acabaremos viendo que lo más habitual es que ocurra lo que hemos predicho aquí, mediante las matemáticas.

Esta curiosa paradoja que tantas veces se nos presenta en nuestro día a día fue propuesta por Martin Gardner en 1959, cuando publicó un problema similar en la revista Scientific American. Esta paradoja tiene distintas variantes, pero todas ellas se pueden resolver fácilmente mediante el método propuesto en este post, que aclarará cualquier fallo en nuestra forma de razonar.

PD: Esta entrada es mi segunda participación al VII Carnaval de Matemáticas, iniciativa que en esta ocasión organiza el blog "El máquina de Turing".

Fuentes

¡Ajá! Paradojas que hacen pensar - Martin Gardner
1ª imagen
2ª imagen (propia)
3ª imagen