Las matemáticas en el régimen nazi

Una de las características más importantes del nazismo fue la manipulación, a base de la propaganda y la educación, de la ideología de los ciudadanos. Desde pequeños, los alemanes eran educados para convertirse en verdaderos nazis. Las ideas del partido nacionalsocialista eran inculcadas en sus jóvenes mentes de formas inimaginables.

Medios de comunicación como la radio o la prensa se convirtieron en un simple método de adoctrinamiento político de las grandes masas. Pero, ante todo, los nazis veían como objetivo principal moldear a los niños a su imagen, ya que eran ellos, los jóvenes, los que mantendrían el Reich en el futuro. Había todo tipo de formas de lograr esto: Mediante cuentos infantiles, mediante canciones, mediante la adaptación de la historia a los ideales nazis... Sin embargo, también usaron formas muy poco comunes de adoctrinamiento. El ejemplo más representativo de hasta dónde podía llegar el gobierno era mediante el uso de las matemáticas como otra forma de "educar políticamente". Y es que, aunque parezca extraño, los ministros de educación nazi no dejaban ningún frente abierto y aprovechaban cualquier oportunidad para difundir sus ideas (de hecho, existía un ministerio dedicado especialmente a "la educación del pueblo y la propaganda").

¿Cómo es posible que se aprovecharan las matemáticas como un arma ideológica? Es de sobra conocido que las escuelas nazis educaban políticamente a los niños para que no estuvieran en contra de Hitler con asignaturas como la historia o la filosofía, muy fácilmente manipulables, pero... ¿de verdad era posible usar también una materia como las matemáticas con ese objetivo?

Pues sí, los ministros de educación lo consiguieron con gran maestría. Nada mejor que ver un ejemplo de aquella época:

"Un loco cuesta cada día 4 marcos, un inválido 5'5 marcos, un criminal 3'5 marcos. En muchos casos, un funcionario no cobra más que 4 marcos, un empleado 3'6 marcos, un aprendiz 2 marcos. Calculad cuánto cuestan anualmente los 300000 locos y epilépticos de Alemania.

¿Cuánto se ahorraría el estado si estos individuos fueran eliminados? ¿Cuántos préstamos de 1000 marcos podríamos conceder a matrimonios si pudiéramos economizar ese dinero?"



El mensaje que hay tras ese sencillo problema de matemáticas está claro: Plantar una semilla de odio hacia todo lo que "sobraba" en la Alemania nazi. De esta forma, se conseguía que los jóvenes se indignaran ante el alto precio que costaba mantener a enfermos mentales o parados, y que, al mismo tiempo, pensaran que si éstos eran eliminados, este dinero se podría invertir en fines que los beneficiaban a ellos, como concediendo préstamos a jóvenes matrimonios. Es natural que con este tipo de argumentos, los chicos empezaran a desarrollar el odio del que hacían gala sus gobernantes.

Si observamos la escasa dificultad de este ejercicio, podemos observara que probablemente era resuelto en clases de niños de muy escasa edad. Ya entonces se les empezaba a inculcar esa cultura discriminatoria.

Veamos otro ejercicio matemático que aparece en los libros de texto nazis:

"Entre los tres grupos raciales más importantes de Europa, se detectó el siguiente crecimiento de la población entre 1900 y 1930:

- Población teutónica: De 124 millones a 149 millones.
- Población latina: De 103 millones a 121 millones.
- Población eslava: De 166 millones a 226 millones.

Asumiendo un nivel de crecimiento constante, calcula el crecimiento de estos tres grupos en un período de diez años. ¿Cuál será el porcentaje de población de los tres grupos en el año 1960 si esta tendencia continúa?

¿Qué riesgos para la población alemana puedes percibir si no ocurre un cambio en esta tendencia?"

Es especialmente interesante esta última pregunta. Uno de los rasgos más básicos del nazismo era el intento de que "la raza aria" se mantuviera pura y predominara sobre todas las demás. Los nazis consideraban como un derecho de la raza aria el imponerse sobre el resto y conquistar sus territorios.

Los judíos eran el enemigo absoluto de Alemania, y eran considerados los principales causantes de su decadencia; pero también se desprendía odio hacia cualquier otra raza, por ejemplo hacia los eslavos, como se puede observar en el problema.

El crecimiento de la población de otras etnias era considerado una amenaza. Lo peor de todo es que los niños se encargaban de llegar por sí mismos a esa conclusión tras hacer el ejercicio. Es decir, nadie les decía "los judíos son malos", sino que sus ejercicios de matemáticas (manipulados, por supuesto) hacían que ellos mismos razonaran esa conclusión y llegaran a ella.

Veamos un tercer ejemplo de problema matemático:

"Para la edificación de un manicomio se necesitan 6 millones de marcos ¿Cuántas casas residenciales, a 1.500 marcos cada una, se hubieran podido construir en lugar del manicomio?"

La respuesta es 4000 casas residenciales. Pero el trasfondo ideológico que se esconde detrás de tan sencillo problema es bien distinto a la intención de educar matemáticamente a los niños. De nuevo, se arremete contra enfermos mentales. Todo aquél que no era perfecto racialmente debía de ser eliminado. Desde los que presentaban problemas físicos (como inválidos o deformes) hasta aquellos que simplemente eran diferentes al ideal nazi (por ejemplo, la homosexualidad también se consideraba un problema mental y era tratada en manicomios), todos eran un problema para Hitler y no hacían nada más que suponer gastos para el gobierno.

Es bastante paradójico que una ciencia tan objetiva y alejada de la política como son las matemáticas pudiera ser manipulada de una forma tan vil por Hitler y su gobierno, pero así fue. Durante años, libros de texto llenos de problemas similares sirvieron para formar a juventudes hitlerianas en los ideales políticos del partido nacionalsocialista.

La ciencia nunca puede estar relacionada con una determinada ideología política, pero los tiranos sí pueden aprovecharse de la educación con objetivos más oscuros, como ocurrió con los nazis y las matemáticas.

Para terminar este artículo, dejo un pequeño extracto que Adolf Hitler escribió en su libro "Mi lucha":

"La culminación de toda labor educacional del Estado racista consistirá en infiltrar instintiva y racionalmente en los corazones y los cerebros de la juventud que le está confiada, la noción y el sentimiento de raza. Ningún adolescente, sea varón o mujer, deberá dejar la escuela antes de hallarse plenamente convencido de lo que significa la puridad de la sangre y su necesidad."

NOTA: Este artículo participa en la edición 2.1 del carnaval de matemáticas, organizado por Tito Eliatron.

Fuentes

La educación como instrumento ideológico
La educación en la Alemania nazi
Some Mathematics Lessons from Nazi School Books
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Los matemáticos en "La escuela de Atenas"

Rafael Sanzio fue sin lugar a dudas uno de los pintores y arquitectos más famosos del Alto Renacimiento italiano. Su extensa obra contiene algunos de los cuadros más representativos de su época. Uno de ellos, "La escuela de Atenas" tiene especial interés para nosotros por la gran cantidad de filósofos, historiadores, poetas... que retrata. Pero hay un pequeño grupo de personajes en este cuadro que puede interesar especialmente a los lectores de este blog: Los matemáticos. En efecto, aunque tengan menos presencia y fama que otros de los personajes en el cuadro, los matemáticos griegos también se merecieron ocupar un puesto en este "salón de la fama". Veamos a algunos de los más famosos:

Pitágoras

A Pitágoras lo podemos encontrar en la parte inferior izquierda del cuadro, mientras escribe en un enorme libro (como podéis ver en la imagen de vuestra izquierda).

Pitágoras es uno de los matemáticos griegos más conocidos en general, ya que su famoso teorema se enseña a muy temprana edad en las escuelas. Pero sus descubrimientos como matemático van mucho más allá y abarcan una amplia cantidad de temas. Gracias a la creación de la hermandad pitagórica, cuyos miembros creían en las matemáticas como la base para todo, sus ideas se expandieron rápidamente. Además, gran parte de los discípulos de esta escuela atribuían sus méritos al mismo Pitágoras, por lo que su gama de descubrimientos es enorme.

Por poner un ejemplo, podríamos destacar su demostración formal de su teorema homónimo (ya que antes de Pitágoras ya se usaba ese teorema, pero fue él quien lo demostró) o la creación de las ternas pitagóricas (cuyo nombre se deriva del teorema de Pitágoras). También estudió los números perfectos (es decir, todo aquél número que es igual a la suma de sus divisores positivos, como por ejemplo el seis: 6=1+2+3) y halló una fórmula para hallar cientos de números perfectos. Otra curiosa investigación de los pitagóricos fueron los números amigos: Dos números (a y b) son amigos cuando la suma de los divisores de "a" es igual a "b" y cuando la suma de los divisores de "b" es igual a "a".

Los pitagóricos también hallaron la existencia de los números irracionales . Y sus descubrimientos también se extendieron hasta la geometría: Hallaron la figura geométrica conocida como dodecaedro y demostraron que sólo existen cinco poliedros regulares, conocidos como sólidos platónicos.

Por todo ello, podemos decir sin miedo que Pitágoras fue uno de los matemáticos-filósofos más productivos y prolíficos de la Antigüedad y que, a pesar de que algunos contemporáneos suyos lo llegaran a clasificar incluso de loco, se ha ganado su posición en "La escuela de Atenas".

Claudio Ptolomeo

A Ptolomeo lo podemos encontrar en la esquina inferior derecha del cuadro. Por desgracia para nosotros, resulta que es el personaje que nos está dando la espalda, el que lleva una especie de corona y sostiene una bola del mundo, por lo que no podemos verle la cara (como podéis ver en la imagen de vuestra izquierda).

Ptolomeo fue mucho más que un matemático. Fue todo un científico interdisciplinar: Estudió astronomía, astrología, geografía, química... y matemáticas, claro. Ptolomeo vivió en Egipto y, según se dice, trabajó en la famosa Biblioteca de Alejandría.

Sus descubrimientos estaban basados en su sólida filosofía empirista a la hora de trabajar. Entre sus hechos más destacables, encontramos la creación del Almagesto, un tratado astronómico que contenía un amplio catálogo estelar que fue utilizado por árabes y europeos a lo largo de la Edad Media. También fue uno de los mayores desarrolladores de la ya obsoleta teoría geocéntrica, que planteaba que todos los astros giraban alrededor de la Tierra. Ptolomeo también estudió el campo de la óptica, explorando algunas propiedades de la luz, como pueden ser la refracción o la reflexión.

¿Y qué pasa con las matemáticas? Bueno, principalmente se dedicó a la trigonometría (es decir, el estudio de todo lo relacionado con la medición de los triángulos y sus elementos). Gracias a sus estudios matemáticos, empezó a destacar como constructor de astrolabios (un instrumento ampliamente utilizado por los marineros y científicos para determinar la posición de las estrellas) y los relojes de sol.

Por todos sus estudios, Ptolomeo, que clasificó de miles de estrellas y predijo numerosos eclipses utilizando sus matemáticas, también se merece estar en este cuadro. Quizás no estuvo tan enfocado en las matemáticas como algunos de los personajes de los que estamos hablando en este artículo, pero sin duda sus aportaciones a todas las categorías científicas en general merecieron la pena.

Hipatia

A Hipatia la podemos encontrar en la parte central-izquierda del cuadro, vistiendo una túnica blanca y mirándonos a nosotros mismos (como podéis ver en la imagen de vuestra izquierda).

Hipatia fue una de las mujeres más importantes en el ámbito de la ciencia en la Antigüedad. Su trabajo y vida se centraron en las ciencia exactas como las matemáticas, aunque también es muy famosa por sus extensos escritos sobre astronomía. De hecho, ostenta el honor de ser la primera mujer matemática de la que se tienen conocimientos seguros. Se mantuvo en contacto con grandes personajes de su tiempo e instruyó a una gran cantidad de aristócratas.

Hipatia escribió y estudió sobre álgebra, geometría, astronomía... Entre sus trabajos astronómicos, destaca su creación de un modelo de planisferio, una herramienta formada por dos discos ajustables que se ajustaban para mostrar la posición de las estrellas. También mejoró algunos modelos de astrolabio, aunque esta herramienta era más arcaica que el planisferio.

Sus trabajos matemáticos iban desde la escritura de varios libros (los cuales, por desgracia, no conocemos en su mayoría) hasta la creación de aplicaciones prácticas de sus conocimientos. Por poner un ejemplo de este último caso, tenemos la creación del densímetro, un instrumento que sirve para calcular la densidad de un líquido sin necesidad de conocer su masa y volumen (algo que todavía se utiliza hoy en día). Sinesio de Cirene describió así este instrumento:

"Es un tubo cilíndrico con la forma y dimensiones de una flauta, que en línea recta lleva unas incisiones para determinar el peso de los líquidos. Por uno de los extremos lo cierra un cono, adaptado en posición idéntica, de manera que sea común la base de ambos, la del cono y la del tubo. Cuando se sumerge en el líquido ese tubo, que es como una flauta, se mantendrá recto, y es posible contar las incisiones, que son las que dan a conocer el peso"

Sin duda, fue una mujer que demostró su valor e inteligencia en la ciencia, un personaje que destacó entre los demás a pesar de encontrar tantas barreras en una sociedad que, en sus tiempos, estaba muy limitada con las mujeres.

Arquímedes y Euclides

Y para finalizar este artículo, dejamos un caso especial: El de Arquímedes y Euclides. La particularidad de estos dos personajes es que los historiadores y expertos no se ponen de acuerdo en cuál de los dos es el que está representado en el cuadro. Supuestamente, uno de ellos aparece, pero el otro no. ¿Cuál de ellos es el representado y cuál no? No se sabe. En cualquier caso, hablaremos de ambos personajes y compensaremos este pequeño detalle.

A Arquímedes o Euclides lo podemos encontrar en la esquina inferior derecha, sujetando un compás y dibujando en una pizarra unas lecciones para sus alumnos (como podéis ver en la imagen de la izquierda).

Vayamos en primer lugar con Arquímedes. Arquímedes fue posiblemente el matemático más importante de la Antigüedad. Sus estudios en esta materia, junto con sus trabajos en la física y en la astronomía, hacen de él uno de los personajes más importantes del cuadro.

Principalmente es recordado por el principio que lleva su nombre, el cual afirme que cuando un cuerpo es sumergido en un fluido en reposo, experimentará un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del fluido desplazado. También es famoso por haber explicado el funcionamiento básico de la palanca y por crear numerosas armas de asedio. Otro invento suyo fue el tornillo de Arquímedes, el cual permite la elevación de fluidos y otros materiales a partir de un tornillo que gira sobre un cilindro hueco. Entre sus muchos trabajos, también contribuyó a la flotabilidad del Siracusia, uno de los mayores barcos de transporte de la Antigüedad.

Pero, a pesar de que sus inventos son bastante famosos, no hay que olvidar su faceta matemática más pura, la cual no se queda atrás. Por ejemplo, uno de sus mayores logros fue el de utilizar el método de exhausción (un proceso de aproximación bastante preciso) para lograr un valor muy exacto del número pi.

Todo esto, junto con muchos otros cálculos e inventos, hacen de Arquímedes uno de los más grandes matemáticos.

Vayamos ahora con Euclides, quien es conocido muy acertadamente con el nombre de "Padre de la Geometría". Aunque su vida es en general poco conocida, su obra ha perdurado hasta nuestros días con enorme repercusión.

Principalmente, es recordado por su obra "Los Elementos", una de las mayores recopilaciones de saber matemático-científico que se conserva de aquella época. En este libro (del cual podéis ver un extracto en pergamino a vuestra izquierda), de educación casi obligatoria hasta hace relativamente poco, se ofrece una perfecta introducción sobre la geometría y muchos de sus teoremas se siguen estudiando hoy día.

Por ejemplo, una de sus teorías más famosas es que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo forman 180º. Además, sus estudios sobre las figuras geométricas o los líneas han servido como base imprescindible para muchas otras materias y descubrimientos relacionados con la física, la química o la astronomía.

Por ello, Euclides también se merece su puesto en este cuadro, independientemente de que en realidad sea él o Arquímedes quien aparezca. Ambos han contribuido enormemente al desarrollo de las matemáticas.

Este artículo será mi participación en el IX Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog Rescoldos en la Trébede.

Fuentes

Pitágoras - Wikipedia
Claudio Ptolomeo - Wikipedia
Hipatia - Wikipedia
Arquímedes - Wikipedia
Euclides - Wikipedia
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Paradojas matemáticas (2ª parte) La paradoja de los cuatro hijos

Continuando con nuestra guerra contra la intuición, hoy veremos una paradoja que se presenta muy frecuentemente en la vida diaria, la paradoja de los cuatro hijos. Como dije en anteriores entradas, la lógica matemática nos dará la solución, por muy improbable que sea en un principio. Dicho esto, comencemos con el problema de hoy:

Un día, un joven matrimonio decidió tener hijos. El marido, muy previsor, empezó a echar cuentas y le preguntó a su esposa:

"Querida, ¿cuántos hijos vamos a tener?"

Su esposa, que lo tenía bastante claro, le respondió que quería tener exactamente cuatro vástagos. Su esposo se mostró de acuerdo y empezaron a preparar las habitaciones necesarias para ellos. En ese momento, cuando estaban construyendo una casa lo suficientemente grande para sus cuatro hijos, surgió una nueva duda:

"¿Y qué vamos a tener, niños o niñas? ¿Serán todos del mismo sexo?"

La pareja se puso a reflexionar sobre este nuevo problema: Evidentemente, no había forma humana de saber con exactitud el género de sus futuros hijos, pero podían hacer alguna aproximación sobre la cantidad de niños o niñas que tendrían. La primera conclusión que sacaron fue que lo más extraño sería que los cuatro hijos fueran todos del mismo sexo. Seguramente, de los cuatro tendría que salir alguno diferente.

Pero, ¿cuál sería la cifra más aproximada? ¿Cuántas chicas y chicos era más probable que tuvieran? Su conclusión fue bastante intuitiva: Lo más probable es que tuvieran dos niños y dos niñas, es decir, la mitad. El padre estaba convencido de su decisión. Al fin y al cabo, la posibilidad de que su hijo fuera chico o chica era de un 50%, por lo que estaba claro que debían de tener la mitad de un género y la otra mitad de otro.

Sería como lanzar una moneda: Cada hijo podría ser niño o niña (1/2 de probabilidades), así que al final lo más probable sería que, de los cuatro, hubiera dos niñas y dos niños, cumpliéndose así la probabilidad planteada.

¿Estaba en lo correcto? La madre empezó a dudar, pero la lógica que su esposo proponía era aplastante. ¿Tendrían entonces dos niños y dos niñas? ¿O algo estaba fallando en su razonamiento? Y, en caso de que fallara, ¿cuál sería la cifra más probable de chicos y chicas que tendría el matrimonio?



Como ya habréis supuesto, el marido estaba cometiendo un grave error. Antes de seguir, para ver mejor la situación y aclararlo todo, vamos a realizar un esquema en el que se pueden ver todas las combinaciones posibles a la hora de tener cuatro hijos. Las niñas las representaremos con una M (de mujer) y a los niños con una H (de hombre):

M-M-M-M
M-M-M-H
M-M-H-M
M-M-H-H
M-H-M-M
M-H-M-H
M-H-H-M
M-H-H-H
H-M-M-M
H-M-M-H
H-M-H-M
H-M-H-H
H-H-M-M
H-H-M-H
H-H-H-M
H-H-H-H

Esta aclaradora tabla da como resultado un total de 16 diferentes combinaciones. Ahora, para demostrar la falsedad del enunciado del marido, basta con contar las posibilidades.

En primer lugar, vemos que la posibilidad de que los cuatro hijos sean del mismo sexo es de 2/16 (es decir, sólo tienen un 12'5% de posibilidades). Por lo tanto, su primera premisa era correcta.

Sin embargo, la propuesta principal de la pareja falla estrepitosamente. Vamos a contar las veces que se repite una combinación de dos chicas y dos chicos. Como resultado, obtendremos 6/16, es decir, sólo hay un 37'5% de posibilidades de tener una pareja de cada sexo, mientras que nuestra intuición decía que esto era lo más probable.

Entonces, ¿qué es lo más normal en un matrimonio con cuatro hijos? Aunque resulte difícil de creer, si contamos las opciones en la tabla obtendremos como resultado que las posibilidades de tener un hijo de un sexo y otros tres de diferentes sexo (es decir, un niño y tres niñas, o una niña y tres niños) es lo más normal, ya que obtenemos 8/16, es decir, un 50% de probabilidades.

Resumiendo, esta sencilla tabla demuestra que la mitad de los matrimonios con cuatro vástagos tendrán un hijo y tres niñas o una hija y tres niños. De nuevo, nuestra primera impresión ha fallado.

Por supuesto, también podemos demostrar esta paradoja de forma experimental, usando para ello una moneda. Imaginemos que si sale cara, tenemos un chico, y si sale cruz una chica. Tras lanzar la moneda cuatro veces seguidas durante varias rondas, acabaremos viendo que lo más habitual es que ocurra lo que hemos predicho aquí, mediante las matemáticas.

Esta curiosa paradoja que tantas veces se nos presenta en nuestro día a día fue propuesta por Martin Gardner en 1959, cuando publicó un problema similar en la revista Scientific American. Esta paradoja tiene distintas variantes, pero todas ellas se pueden resolver fácilmente mediante el método propuesto en este post, que aclarará cualquier fallo en nuestra forma de razonar.

PD: Esta entrada es mi segunda participación al VII Carnaval de Matemáticas, iniciativa que en esta ocasión organiza el blog "El máquina de Turing".

Fuentes

¡Ajá! Paradojas que hacen pensar - Martin Gardner
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2ª imagen (propia)
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Paradojas matemáticas (1ª parte) La paradoja de Monty Hall

Comenzamos nuestra serie sobre paradojas matemáticas con una especialmente sorprendente, la paradoja de Monty Hall. Este problema está inspirado en un concurso de televisión llamado Let's Make a Deal y presentado por Monty Hall (de ahí el nombre de la paradoja).

El concurso se basaba en los siguiente: Un concursante se sitúa frente a tres puertas cerradas. Detrás de una de estas puertas hay un coche, y detrás de las otras hay dos cabras (véase la primera imagen). Evidentemente, el objetivo del concursante es adivinar en cuál de ellas está el coche escondido, sin tener ninguna pista disponible.

Imaginemos que nosotros somos el concursante en cuestión. Como es lógico, este primer paso es puro azar, ya que no podemos adivinar de ninguna manera lo que hay detrás. Sea como sea, debemos elegir qué puerta queremos escoger, basándonos únicamente en la intuición. Una vez hayamos elegido, el presentador (que sabe lo que se esconde detrás de cada puerta) nos interrumpe y nos ofrece una ayuda un tanto extraña: Abre una de las puertas que están ocupadas por cabras, por lo que nos descarta una opción.

De esta forma, al concursante se le presenta la siguiente situación: De tres puertas, una de las ocupadas por una cabra está abierta y descartada, por lo que queda una ocupada por el coche y otra ocupada por la cabra restante. Pero, como recordaréis, antes de que el presentador descartara a una de las cabras, nosotros ya habíamos elegido una opción.

Ahora bien, después de ver esta acción por parte del presentador, se nos da la posibilidad de nuevo de cambiar nuestra elección: ¿Debemos mantener nuestra primera opinión o cambiamos a la otra puerta restante? ¿Hay alguna diferencia? ¿O da lo mismo que hagamos una cosa u otra? Si os sirve como apoyo para resolver el problema, aquí tenéis un resumen del enunciado en unas pocas líneas, hecho por Craig F. Whitaker:

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

¿Has decidido ya qué es mejor? Bien, seguramente la intuición os habrá sugerido a muchos que da lo mismo que cambiemos de posición o que mantengamos la inicial, seguramente esto no influirá en el resultado final... Pero es un razonamiento completamente erróneo. Lo cierto es que nuestra decisión sí influye (y mucho más de lo que parece), ya que ganar el coche es mucho más probable si cambiamos de puerta ¿Cómo podemos demostrarlo? Basta con aplicar un poco de probabilidad.

Cuando en nuestra primera elección escogimos entre una de las tres puertas, la probabilidad de llegar al coche era de 1/3. O, dicho de otra forma, tenías 2/3 de probabilidad de escoger una puerta en la que se escondiera una de las cabras. Entonces, llega el presentador y abre una de las puertas en las que está encerrada una cabra.

Y aquí llega el problema: ¿Qué es lo primero que dicta nuestra intuición? Seguramente nos dirá que ahora hay un 50% de probabilidad de que el coche se esconda en nuestra puerta y otro 50% de que se esconda en la que no hemos elegido, por lo que no importa nuestra decisión. Sin embargo, este argumento está completamente equivocado. Esto es así porque nuestra primera decisión influyó en la acción del presentador. Vamos a explicarlo de forma más sencilla con matemáticas:

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta del coche (1/3 de probabilidades), al cambiar nosotros de puerta en el segundo paso habremos perdido, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al cambiar de puerta tras la acción del presentador tenemos una posibilidad de perder sobre tres.

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta de una cabra (2/3 de probabilidades), al cambiar nosotros de puerta en el segundo paso habremos ganado, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al cambiar de puerta tras la acción del presentador tenemos dos posibilidades de ganar sobre tres.

¿Qué pasaría si en vez de cambiar de puerta nos quedamos con nuestra puerta original? Comprobémoslo de la misma forma que antes:

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta del coche (1/3 de probabilidades), al quedarnos en la misma puerta en el segundo paso habremos ganado, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al quedarnos en la misma puerta tras la acción del presentador tenemos una posibilidad de ganar sobre tres.

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta de una cabra (2/3 de probabilidades), al quedarnos en la misma puerta en el segundo paso habremos perdido, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al cambiar de puerta tras la acción del presentador tenemos dos posibilidades de perder sobre tres.

En resumen: Si cambiamos de puerta tras la revelación del presentador, tendremos un 66% de posibilidades de ganar (2/3=0'66, es decir, 66%), mientras que si mantenemos nuestra puerta inicial sólo tendremos un 33% de posibilidades de ganar (1/3=0'33, es decir, 33%). Esta diferencia es más que suficiente para determinar que lo mejor que podemos hacer cuando se nos ofrezca la posibilidad de cambiar es elegir la otra puerta.

Y, si las matemáticas no han sido suficientes y os habéis quedado con ganas de más demostraciones, en este enlace tenéis un interesante juego que recrea el concurso y que os ayudará a ver cómo se cumple esta paradoja. Probad y probad todas las veces que queráis, apuntad vuestros resultados si os parece bien, y veréis cómo se cumple con una precisión pasmosa las matemáticas de este problema.

PD: Esta entrada es mi primera participación al VII Carnaval de Matemáticas, iniciativa que en esta ocasión organiza el blog "El máquina de Turing".

Fuentes

Problema de Monty Hall - Wikipedia
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2ª imagen: Es de diseño propio, aunque realizada a partir de ésta y ésta.
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Paradojas matemáticas (Prólogo)

Como prometí hace unos días, hoy empezamos una nueva serie en El Busto de Palas. Con un giro radical en la temática y dejando atrás a la biología, en este nuevo apartado hablaré sobre matemáticas, pero de una forma diferente a la que lo suelo hacer en este blog: Con artículos en los que también podéis participar vosotros.

Como bien podréis adivinar por el título, la serie va a girar en torno a paradojas y contradicciones matemáticas. La mayoría de ellas surgen por un simple error a la hora de razonar y de aplicar la lógica, las cuales son resueltas con total facilidad cuando se aplican las matemáticas. La intuición es una herramienta que falla muy a menudo, pero una lógica bien aplicada siempre acierta, como demostraremos con esta serie.

La estructura de los artículos en este apartado va a ser un poco especial: Quiero que, además de leer un artículo como hacéis siempre, podáis también pasar un rato activando las neuronas e intentando hallar por vosotros mismos el problema propuesto. Para ello, los posts tendrán la siguiente forma:

-- Planteamiento del problema (es decir, cuándo surge, quién la plantea, en qué consiste...).

--Un pequeño espacio para que intentéis resolverlo.

--Resolución del problema.

De esta forma, no se desvelará ninguna pista al principio y podréis resolverla por vosotros mismos (¡como me entere de que alguno busca la solución en internet, queda expulsado del blog ;-) !), tomando el tiempo que creáis necesario para pensarlo. Las matemáticas de estos artículos están al acceso de todos, son muy sencillas, y la mayoría de los problemas se resuelven con métodos bastante fáciles de probabilidad, estadística... etc.

Siempre he pensado que los blogs son un medio excelente para interactuar con los lectores, pero hasta ahora yo me había limitado a los artículos “normales”, en los que vuestro papel es simplemente el de leer y asimilar la información. Sin embargo, con este método creo que se consigue una mayor participación por vuestra parte y será más interesante de leer, ya que además estaréis intentando completar el artículo antes de continuar. Esperemos que este método funcione y os resulte más entretenido, aunque al finalizar la serie vuelva a los artículos de siempre.

Por último, me gustaría señalar que la inspiración para iniciar esta serie fue la reciente lectura de “¡Ajá! Paradojas que hacen pensar”, del gran divulgador Martin Gardner, ese gran matemático que, por desgracia, falleció recientemente (sirva esta serie como mi homenaje personal). Si a alguno le gusta esta serie y se queda con ganas de más cuando la termine, recomiendo encarecidamente la lectura de este entretenido libro (uno de los mejores de divulgación matemática que he leído últimamente). El libro consta de varios apartados: Lógica, geometría, matemáticas... Todo ello acompañado de unas imágenes muy aclarativas y numerosas referencias a otros libros y autores, además de, por supuesto, una genial explicación de la paradoja.

Recorreremos paradojas de todo tipo: Desde las más sencillas hasta las más enrevesadas, desde las enunciadas por los filósofos de la Antigüedad hasta las enunciadas por científicos modernos, desde las que se resuelven aplicando la estadística hasta las que se resuelven mediante la geometría... El objetivo es tener un conjunto variado de paradojas que se resuelvan de diferentes formas, para no acabar cayendo en lo repetitivo.

La primera paradoja la publicaré muy pronto, este artículo es sólo para explicar el funcionamiento de la serie y que no haya problemas a la hora de “interactuar” con ella. Por supuesto, al igual que hago con todas las series, os doy total libertad para hacer recomendaciones sobre posibles paradojas que me haya saltado o que consideréis interesantes.

PD: Aprovecho para disculparme por la escasez de artículos estos últimos días, he estado un poco ocupado y no he tenido demasiado tiempo libre. Espero que poco a poco vuelva a recuperar la regularidad de los meses anteriores.

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Los puentes de Königsberg

La ciudad de Kaliningrado, antiguamente llamada Königsberg, es un bonito lugar situado en la desembocadura del río Pregolya, en la antigua Prusia Oriental. Este río atravesaba la ciudad, diviendo la zona en varias partes. Para no perder la comunicación, ésta estaba llena de un sistema de puentes conectores.

En total, había siete grandes puentes en Kaliningrado: El puente del herrero, el puente conector, el puente verde, el puente del mercado, el puente de madera, el puente alto y, por último, el puente de la miel. Los ciudadanos se sentían muy orgullosos de esta gran red de comunicación, y entre ellos surgió un pequeño juego para entretenerse en los momentos de aburrimiento:

¿Se pueden atravesar todos los puentes pasando sólo una vez por cada puente?

Pensadlo por vosotros mismos, la imagen que introduce el artículo es el mapa de la ciudad con sus respectivos puentes.

¿Halláis la respuesta?

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Bien, seguramente habréis decidido que es algo imposible, es necesario cruzar algún puente más de una vez. A base de repetir y repetir acabamos dándonos cuenta de que es un problema irresoluble. Sin embargo, los matemáticos siempre son mucho más elegantes a la hora de expresarse y hacer sus demostraciones, el método de "repetir y repetir" era algo demasiado informal.

Por aquella época, estaba en la ciudad un eminente matemático trabajando en la Academia Prusiana de las Ciencias. Como no podía ser de otra forma, enseguida se interesó por este acertijo y se propuso dar una solución mucho más completa y demostrativa de porqué es imposible cruzar todos los puentes sólo una vez. Este personaje se llamaba Leonhard Euler, posiblemente el mayor matemático de la historia.

En primer lugar, Euler simplificó el mapa del territorio a simplemente unas cuantas líneas y puntos. Eliminó todo lo sobrante:



Como podemos ver, los distintos territorios en los que los puentes dividieron la ciudad se convirtieron en puntos, es decir, en "vértices"; y los puentes se convirtieron en líneas, lo que llamamos "aristas". También determina que hay un punto de "inicio" y un punto de "salida".

Euler consiguió, a partir de este sencilló esquema, encontrar la solución de una forma mucho más elegante que la que aplicamos en un principio: Para poder recorrer un sistema de este tipo, los vértices "intermedios" deben tener un número par de aristas. Es decir, deben tener una vía para entrar y una vía para salir. Sólo los puntos de inicio y salida pueden tener un número impar de aristas, porque, evidentemente, nunca "entramos" al punto de inicio y nunca "salimos" del punto de llegada.

Es algo muy sencillo, vamos a crear mentalmente un sistema en el que hay un territorio divido en dos partes por un puente. ¿Cómo lo resolvemos? Tenemos que salir una vez del punto de inicio (nº impar), entrar en un punto intermedio y salir de él (nº par) y acabar entrando en el punto de salida (nº impar).

¿Y dónde reside la genialidad de Euler? En que este método se aplica a cualquier problema de este tipo. Con calcular las aristas que tienen los puntos intermedios y extremos podemos saber a la primera si el problema es irresoluble o no. En el caso de los puentes de Königsberg, los vértices intermedios tienen un número impar de aristas, por lo que es absolutamente imposible realizar la hazaña del ejercicio planteado.

También cabe destacar un último punto respecto al número de aristas que contienen los vértices de salida y llegada en un recorrido que sí se pueda completar (es decir, todo lo contrario a los puentes de Königsberg). Teniendo en cuenta que los vórtices intermedios tienen un número par de aristas, los vórtices de inicio y salida pueden tener, según la situación, un número par o impar de aristas:

- Si el punto de llegada y salida es el mismo, obligatoriamente debe tener un número par de aristas (uno para salir y otro para regresar). Esto se conoce como "ciclo euleriano".

- Si por el contrario el punto de salida y el de llegada son diferentes, deben tener obligatoriamente un número impar de aristas. Esto es lo que conocemos como "camino euleriano".

Estos estudios realizados por Euler fueron el detonante de la teoría de grafos, convirtiendo una simple discusión pueblerina en toda una disciplina científica.

NOTA: Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas (VI edición), que en esta ocasión organiza el blog Sangakoo, una iniciativa para difundir las matemáticas en la blogosfera.

Fuentes

Problema de los puentes de Königsberg - Wikipedia
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3ª imagen

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Cuando las matemáticas y la literatura se encuentran

Las matemáticas y la literatura siempre han supuesto dos extremos completamente diferentes. Por un lado, a las matemáticas siempre se les ha visto como frías, exactas, precisas, prácticas, no dan lugar a dudas. Por el otro, la literatura es la explosión de los sentimientos, es la forma de crear belleza. Son diferentes, por supuesto, ¿pero acaso por ello deben de ser enemigas? ¿están enfrentadas las matemáticas con la literatura?

Por supuesto que no. Y buena prueba de ello son los poemas con sentido matemático, aquellos poemas que muestran la belleza de las matemáticas. He recopilado una pequeña selección:

El primero de ellos se trata de un poema del colombiano R. Nieto, que se lo dedica al número Pi. Lo más curioso de este poema es que las sílabas (primera palabra, 3 sílabas; segunda palabra, 1 sílaba... etc) coinciden con las 32 primeras cifras de este número (3,1415926535897932384626433832795):

"Soy π lema y razón ingeniosa
de nombre sabio que serie preciosa
valorando enunció magistral.
Por su ley singular bien medido
el grande orbe por fin reducido
fue al sistema ordinario usual"

Observemos ahora este soneto dedicado a las matemáticas en general, pasando por integrales y tangentes, del matemático Velázquez (1988):

“Yo guardo en mi baúl de matemático
ideas y conceptos racionales:
asíntotas, entornos, integrales
y el punto, que es tan ralo y axiomático.
Tomando las funciones de gramático
reciclo palabrejas magistrales:
afijos, decrementos, ideales;
y pretendo ser claro y sistemático.
¿Mas cómo han de faltar en esta glosa
los vectores, el π de tanta fama,
la tangente, de imagen tan hermosa,
la bella derivada, que es su hermana?
Hay mucho que nombrar, hay tanta cosa
que acaso yo precise otra mañana”

El siguiente poema está dedicado a la conocida como "divina proporción", el número áureo ( φ ). Es de Rafael Alberti, y se llama "A la divina proporción":

"A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
Áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro"

Pasemos ahora a estos versos de J.M. Bartrina (s. XIX), procedentes de su obra "De omni re scibili":

¡Y aún dirán de la ciencia que es prosaica!
¡Hay nada, vive Dios,
bello como la fórmula algebraica
C = π r ² !

Pero también hay poemas más originales, como por ejemplo este acróstico de Jose Antonio Herbás, "Matemáticas y Poesía":

M irar soñando despierto
A l ver dos líneas trazadas
T e refleja como ciertos
E spacios que son del alma;
M ar de infinitos destellos
A cotados por las blancas
T razas que dejan abiertos
I mposibles movimientos
C apaces de abrir las marcas
A lcanzadas por expertos
S abios de todos los tiempos
Y soñando lograremos
P enetrar en las esencias
O cultas de los extremos
E squivos de las conciencias,
S abiendo que toda ciencia
I ncluye cuando queremos
A lgo de amor y cadencia

La geometría también tiene su hueco en la poesía, como podemos ver con los triángulos en el siguiente poema de Danny Perich Campana, "La familia triángulo":

Todos los triángulos somos
polígonos muy amigables,
3 lados, 3 ángulos, 3 vértices,
nuestros elementos principales

Yo soy el equilátero
y mis lados iguales tengo,
y por más que me estiren y estiren
mis ángulos inalterables mantengo

Cada uno de ellos mide
exactamente 60 grados
y cuando me trazan una altura
quedo en dos partes iguales, cortado.

Yo soy su hermano isósceles
tengo tan solo dos lados iguales
y opuestos a ellos, modestamente,
dos ángulos que lo mismo valen

De mis hermanos soy el más desordenado,
como escaleno me han bautizado,
mis ángulos son todos desiguales
y lo mismo pasa con mis lados.

El que no se hace mayor problemas
es mi primo acutángulo
pues menos de 90 grados tiene
la medida de sus ángulos.

Pero el más chistoso de todos
es el tío obtusángulo
que entre 90 y 180 grados
tiene uno de sus ángulos.

Y si preguntan por el más famoso,
no hay duda: triángulo rectángulo
con un ángulo de 90 grados
a sus catetos afirmando.

A su lado más largo
por hipotenusa han bautizado,
¿creerías que en tan pequeño triángulo
el más grande teorema se ha creado?

Pitágoras fue el matemático
que descubrió por sabio y sus musas
que al sumar el cuadrado de los catetos,
resulta igual que el cuadrado de la hipotenusa.

Y esta historia familiar finaliza,
en otro momento nos juntaremos
para hablar de los cuadriláteros
y de todo su parentesco.

Otra de las figuras matemáticas que han sido plasmadas poéticamente es la banda de Moebius, en el poema de Myriam Moscona, "La cinta de Moebius":

¿Por qué una curva
Al ir y regresar
Vuelve al lugar donde empezó?

Toma el lápiz y delinea
Ya verás:
La cinta tiene sólo un lado.

Ahora bien: Los geómetras del cielo
Discuten todavía
Si el ojo de Dios
Nos amasó con shejná
¿Tendrá principio de mujer nuestro saber?

Unos dicen que así no fuimos dibujados
Son rectas las curvas de Moebius.
En torcedumbre y doloridos
Con esas cintas nos crearon

Por su parte, el poeta Enrique Morón hizo un poema matemático con un número que asusta a cualquier estudiante, "Oda al número 0":

Redonda negación, la nada existe
encerrada en tu círculo profundo
y ruedas derrotado por el mundo
que te dio la verdad que no quisiste.

Como una luna llena es tu figura
grabada en el papel a tinta y sueño.
Dueño de ti te niegas a ser dueño
de toda la extensión de la blancura.

Tu corazón inmóvil y vacío
ha perdido la sangre que no tuvo.
Es inútil segar donde no hubo
más que un cuerpo en el cuerpo sin baldío.

Redonda negación, redonda esencia
que no ha podido ser ni ha pretendido.
Sólo la nada sueña no haber sido
porque no ser es ser en tu existencia.

Y para acabar esta recopilación, os dejo con Miguel de Unamuno y su poema "La Tabla de multiplicar":

2 x 2 son 4,
2 x 3 son 6,
¡ay que corta vida
la que nos hacéis!.

3 x 3 son 9,
2 x 5 10,
¿volverá a la rueda
la que fue niñez?.

6 x 3 18,
10 x 10 son 100.
¡Dios! ¡No dura nada
nuestro pobre bien!

Infinito y cero,
¡la fuente y el mar!.
¡Cantemos la tabla
de multiplicar!

Fuentes

(Los poemas han sido extraídos de los siguientes documentos, pero pertenecen a sus correspondientes escritores, los cuales están indicados en este artículo, en la presentación de cada uno de ellos. Los poemas mantienen sus derechos de autor asignados originalmente, independientemente de los que rigen el resto del blog)

-Sobre las buenas relaciones entre matemáticas y literatura - Francisco Javier Peralta Coronado (PDF)
-Matemáticas y Poesía - Ricardo San Martín Molina (PDF)
-Poemas matemáticos - Sector matemática

NOTA: Esta recopilación será mi segunda participación consecutiva en el Carnaval de Matemáticas (V edición), organizado en el blog Ciencia, por Barcedavid.

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¿Por qué no hay premios Nobel de matemáticas? ¿Qué es la medalla Fields?

Supongo que todos conocéis la historia de los premios Nobel, esos galardones que cada año son otorgados a personas que han destacado en su campo y que han ayudado al desarrollo humano. El inventor y químico sueco Alfred Nobel, inventor de la dinamita, se sintió culpable de haberse enriquecido mediante un invento dedicado a la guerra. Por ello, en París, el 27 de noviembre de 1895 firmó en su testamento una forma de limpiar su nombre, los Premios Nobel.

¿En qué consistía esta propuesta? Sencillamente, el gran capital que Alfred dejó tras su muerte se invertiría en valores seguros, y los intereses provocados por esos fondos serían entregados anualmente a los ganadores. Actualmente, el beneficio económico que se lleva el afortunado es aproximadamente de unos 10 millones de coronas suecas (algo más de un millón de euros).

Pero el ganar este premio es algo que trasciende lo económico. Recibir este galardón es un símbolo de reconocimiento internacional, apto sólo para los que sobresalen en su trabajo.

En el testamento de Alfred Nobel se dice claramente quién deberá recibir esos prestigiosos premios:

"Una parte a la persona que haya hecho el descubrimiento o el invento más importante dentro del campo de la física; una parte a la persona que haya realizado el descubrimiento o mejora más importante dentro de la química; una parte a la persona que haya hecho el descubrimiento más importante dentro del campo de la fisiología y la medicina; una parte a la persona que haya producido la obra más sobresaliente de tendencia idealista dentro del campo de la literatura, y una parte a la persona que haya trabajado más o mejor en favor de la fraternidad entre las naciones, la abolición o reducción de los ejércitos existentes y la celebración y promoción de procesos de paz (...) Es mi expreso deseo que, al otorgar estos premios, no se tenga en consideración la nacionalidad de los candidatos, sino que sean los más merecedores los que reciban el premio"

[Cabe destacar que también existe un reconocimiento para el campo de la economía, añadido después de la muerte de Alfred. Sin embargo, no es reconocido como Premio Nobel, ya que no se usan los fondos que él dejó y el comité no lo reconoce como tal. Oficialmente se llama Premio Banco de Suecia en Ciencias Económicas en Memoria de Alfred Nobel. De todas formas, este hecho carece de importancia en el tema del artículo]

Como veis, una gran idea la de este hombre, muy comprometida con el avance del saber humano. ¿Pero dónde quedan las matemáticas? ¿Acaso no son igual de importantes? Respecto a este punto existen varios rumores.

Uno de ellos dice que la mujer de Nobel le era infiel con el famoso matemático Gösta Mittag-Leffler, personaje totalmente apto para recibir el Nobel de matemáticas. Por tanto, este rumor nos dice que Alfred evitó incluir esta categoría para que no lo recibiera este matemático.

Es una bonita leyenda, y explicaría muy bien el porqué de nuestra pregunta, pero hay un problema: Alfred Nobel era soltero. Por tanto, esta primera excusa es falsa.

Otro rumor nos dice que Alfred y el anteriormente mencionado Gösta Mittag-Leffler se llevaban muy mal, pero no por culpa de una mujer, sino por el afán de dinero que tenía el matemático. Y, como era el que más posibilidades tenía de llevarse ese galardón, Nobel no tendría intención de darle a él su dinero.

De nuevo, esta historia resulta ser falsa. Según los historiadores, estos dos científicos apenas tuvieron contacto, y mucho menos el suficiente como para formar una relación de odio. Estudiaron el colegios y universidades diferentes, por lo que no pudieron verse ni establecer relaciones.

¿Entonces cuál es el motivo real? Pues es mucho más sencilla y aburrida que los rumores: Sencillamente, las matemáticas no le gustaban a Alfred Nobel. Él creo unos premios acordes a sus intereses y a las materias que según él ayudaban más a la humanidad. Y ésa es la verdadera historia de porqué no hay premios Nobel dedicados a las matemáticas. Ahora bien, no por ello los matemáticos se han quedado sin galardones. Para suplir la falta del Nobel, los matemáticos tienen su propio galardón, la Medalla Fields.

La Medalla Fields (también conocida como La Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matemáticas), es concedida cada cuatro años por la Unión Matemática Internacional. El nombre de la medalla es un homenaje al matemático John Charles Fields, que asentó las bases para este premio.

Como se puede ver en la imagen, el anverso tiene grabada la cabeza de Arquímedes y una inscripción que dice "Transire suum pectus mundoque potiri" (lo cual viene a significar "ir más allá de uno mismo y dominar el mundo").

En el reverso se puede leer la inscripción "congregati ex toto orbe mathematici ob scrita insignia tribuere" (que significa "los matemáticos de todo el mundo se reunieron para dar esta medalla por escritos excelentes").

Por tanto, a pesar de ser un premio menos conocido y con menos peso que el Premio Nobel, los matemáticos tienen un galardón que premiará el avance de las matemáticas, una ciencia que se lo merece. Los ganadores de la Medalla Fields reciben 15.000 dolares canadienses (lo que vienen a ser unos 10.700 euros).

Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como una tumba - Henry David Thoreau


NOTA: Me gustaría comentaros un proyecto en el que voy a participar con esta entrada. Estoy hablando del Carnaval de Matemáticas, una magnífica iniciativa puesta en marcha por el blogger Eliatron y que este mes tiene como anfitrión el blog Ciencia, por Barcedavid. Si a alguien le interesa esta propuesta, puede informarse más detalladamente aquí o preguntar en los comentarios. Desde aquí animo a todos los blogueros que lean este blog a que se animen a hacer una/s entrada/s. El plazo de esta V edición durará hasta el 20 de junio, y el 21 se publicará un resumen con todas las entradas en el blog anfitrión. Su único objetivo: Divulgar las matemáticas.

Fuentes

- Premio Nobel - Wikipedia
- Medalla Fields - Wikipedia
-¿Por qué no se concede el premio Nobel en matemáticas? - Números (PDF)

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