Paradojas matemáticas (1ª parte) La paradoja de Monty Hall

Comenzamos nuestra serie sobre paradojas matemáticas con una especialmente sorprendente, la paradoja de Monty Hall. Este problema está inspirado en un concurso de televisión llamado Let's Make a Deal y presentado por Monty Hall (de ahí el nombre de la paradoja).

El concurso se basaba en los siguiente: Un concursante se sitúa frente a tres puertas cerradas. Detrás de una de estas puertas hay un coche, y detrás de las otras hay dos cabras (véase la primera imagen). Evidentemente, el objetivo del concursante es adivinar en cuál de ellas está el coche escondido, sin tener ninguna pista disponible.

Imaginemos que nosotros somos el concursante en cuestión. Como es lógico, este primer paso es puro azar, ya que no podemos adivinar de ninguna manera lo que hay detrás. Sea como sea, debemos elegir qué puerta queremos escoger, basándonos únicamente en la intuición. Una vez hayamos elegido, el presentador (que sabe lo que se esconde detrás de cada puerta) nos interrumpe y nos ofrece una ayuda un tanto extraña: Abre una de las puertas que están ocupadas por cabras, por lo que nos descarta una opción.

De esta forma, al concursante se le presenta la siguiente situación: De tres puertas, una de las ocupadas por una cabra está abierta y descartada, por lo que queda una ocupada por el coche y otra ocupada por la cabra restante. Pero, como recordaréis, antes de que el presentador descartara a una de las cabras, nosotros ya habíamos elegido una opción.

Ahora bien, después de ver esta acción por parte del presentador, se nos da la posibilidad de nuevo de cambiar nuestra elección: ¿Debemos mantener nuestra primera opinión o cambiamos a la otra puerta restante? ¿Hay alguna diferencia? ¿O da lo mismo que hagamos una cosa u otra? Si os sirve como apoyo para resolver el problema, aquí tenéis un resumen del enunciado en unas pocas líneas, hecho por Craig F. Whitaker:
Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?


¿Has decidido ya qué es mejor? Bien, seguramente la intuición os habrá sugerido a muchos que da lo mismo que cambiemos de posición o que mantengamos la inicial, seguramente esto no influirá en el resultado final... Pero es un razonamiento completamente erróneo. Lo cierto es que nuestra decisión sí influye (y mucho más de lo que parece), ya que ganar el coche es mucho más probable si cambiamos de puerta ¿Cómo podemos demostrarlo? Basta con aplicar un poco de probabilidad.

Cuando en nuestra primera elección escogimos entre una de las tres puertas, la probabilidad de llegar al coche era de 1/3. O, dicho de otra forma, tenías 2/3 de probabilidad de escoger una puerta en la que se escondiera una de las cabras. Entonces, llega el presentador y abre una de las puertas en las que está encerrada una cabra.

Y aquí llega el problema: ¿Qué es lo primero que dicta nuestra intuición? Seguramente nos dirá que ahora hay un 50% de probabilidad de que el coche se esconda en nuestra puerta y otro 50% de que se esconda en la que no hemos elegido, por lo que no importa nuestra decisión. Sin embargo, este argumento está completamente equivocado. Esto es así porque nuestra primera decisión influyó en la acción del presentador. Vamos a explicarlo de forma más sencilla con matemáticas:

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta del coche (1/3 de probabilidades), al cambiar nosotros de puerta en el segundo paso habremos perdido, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al cambiar de puerta tras la acción del presentador tenemos una posibilidad de perder sobre tres.

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta de una cabra (2/3 de probabilidades), al cambiar nosotros de puerta en el segundo paso habremos ganado, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al cambiar de puerta tras la acción del presentador tenemos dos posibilidades de ganar sobre tres.

¿Qué pasaría si en vez de cambiar de puerta nos quedamos con nuestra puerta original? Comprobémoslo de la misma forma que antes:

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta del coche (1/3 de probabilidades), al quedarnos en la misma puerta en el segundo paso habremos ganado, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al quedarnos en la misma puerta tras la acción del presentador tenemos una posibilidad de ganar sobre tres.

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta de una cabra (2/3 de probabilidades), al quedarnos en la misma puerta en el segundo paso habremos perdido, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al cambiar de puerta tras la acción del presentador tenemos dos posibilidades de perder sobre tres.

En resumen: Si cambiamos de puerta tras la revelación del presentador, tendremos un 66% de posibilidades de ganar (2/3=0'66, es decir, 66%), mientras que si mantenemos nuestra puerta inicial sólo tendremos un 33% de posibilidades de ganar (1/3=0'33, es decir, 33%). Esta diferencia es más que suficiente para determinar que lo mejor que podemos hacer cuando se nos ofrezca la posibilidad de cambiar es elegir la otra puerta.

Y, si las matemáticas no han sido suficientes y os habéis quedado con ganas de más demostraciones, en este enlace tenéis un interesante juego que recrea el concurso y que os ayudará a ver cómo se cumple esta paradoja. Probad y probad todas las veces que queráis, apuntad vuestros resultados si os parece bien, y veréis cómo se cumple con una precisión pasmosa las matemáticas de este problema.

PD: Esta entrada es mi primera participación al VII Carnaval de Matemáticas, iniciativa que en esta ocasión organiza el blog "El máquina de Turing".

Fuentes

Problema de Monty Hall - Wikipedia
1ª imagen
2ª imagen: Es de diseño propio, aunque realizada a partir de ésta y ésta.
3ª imagen

24 comentarios:

Juan Martínez-Tébar Giménez dijo...

Mira en este video de la serie NUB3RS
http://www.youtube.com/watch?v=0Nj1axW-Sb4&p=C37193C159BC835E&playnext=1&index=7

PEPE CAHIERS dijo...

Estoy seguro que lo que planteas tiene sentido, pero para mi un 50% es un 50%. Cabezón que es uno.

Kinezoe dijo...

Casos favorables frente a casos posibles. Las matemáticas no fallan. Conviene cambiar de puerta. De donde puede extraerse que siempre es conveniente pararse a pensar antes de dejarse llevar por la intuición...

Interesante sección.

Saludos.

octopusmagnificens dijo...

Con el ejemplo de 100 puertas de las que nos abren 98 se entiende mucho mejor. Así, es casi imposible haber acertado la puerta correcta, pero es casi seguro que la acertaremos al cambiarla.

Marcos Callau dijo...

Me pasa como a Pepe. quizá no lo haya entendido bien. Ay, si es que por algo escogí Letras.

Alejandro (vuestro humilde narrador) dijo...

La sección que propones promete, el ejemplo con el que te has estrenado es bueno, pero vaya, yo al igual que Pepe Cahiers, mi cabezonería es grande y también pienso que como Octopusmagnifciens con el ejemplo de las 100 puertas mi tozudez se rinde mejor antes las evidencias, aún así me ha gustado eso las cabras y el coche, vaya por donde la imaginación de estos concursos!

Dani dijo...

Otra serie para los "Clásicos del El Busto de Palas".

Vaya, una pena porque me sabía la solución y no he podido disfrutar :-(

Muy bien explicada, Cendrero

Yunni dijo...

Muy buena Cendrero! Me hizo recordar, un poco, la parte final de la película: “¿Quién quiere ser millonario? (Slumdog Millionaire)”

Alive dijo...

No conocía la paradoja, y me ha costado asimilarla, aunque el enlace del juego ha acabado quitándome la duda :).

Saludoss.

Lucifer, Becario del Mal dijo...

Yo si la conocía, es el clásico ejemplo que pongo para demostrar que la probabilidad es muy traicionera.
Y en general no me cree nadie y me miran como a un loco.

Cendrero (Adm. El Busto de Palas) dijo...

@Juan Martínez-Tébar Giménez: Genial el vídeo que dejas, ha resumido toda la paradoja en unos pocos minutos, ni yo la podría haber sintetizado mejor. Muchas gracias por el aporte y por tu visita :-)

@PEPE CAHIERS: Jeje, es que cuando se nos mete una idea en la cabeza a veces es muy complicado quitárnosla de encima XD Tienes que tener en cuenta que esto no es el 50%, piensa que cuando hemos elegido una puerta, estamos teniendo muchas más posibilidades de escoger una cabra que el coche. Entonces, cuando el juez elimine la otra cabra, estamos partiendo desde una situación mucho más favorable para escoger el coche, ya que evidentemente no podemos escoger a la otra cabra. Creo que te resultará muy fácil comprenderlo si ves el vídeo que ha dejado el primer comentarista y le echas un vistazo de nuevo al planteamiento que dejo en la entrada ;-)

@Kinezoe: Gracias por el comentario Kinezoe, me alegro de que te guste la nueva serie y el artículo, es un placer verte por aquí.

Cierto lo que propones, siempre es mejor pensarse las cosas dos veces, aunque pueda resultar muy evidente nuestra primera opinión o intuición.

@octopusmagnificens: Tienes toda la razón, esa variante es un genial ejemplo, pero no quería alargar más el artículo, como continúe dando argumentos para demostrar la paradoja no terminaré nunca ;-D

Pero muchas gracias por aportar el dato, quien todavía esté pensando en la paradoja y no la acabe de comprender le recomiendo que busque la variante que dice octopusmagnificens.

@Marcos Callau: Jajaja, la típica pelea entre ciencia y letras :D No pasa nada Marcos, te digo lo que a Pepe, ve el vídeo y reflexiona un momento, verás como te das cuenta de ello y luego te ríes de lo fácil que es y de lo difícil que parece en un primer momento :)

Gracias por pasar. Saludos.

@Alejandro (vuestro humilde narrador): Gracias Alejandro, me alegro de que te guste la sección. La verdad es que, si tenemos muy metida la idea inicial de que hay un 50% de posibilidades y nos mostramos reacios a cambiar de opinión, se hace bastante difícil comprender esta paradoja. Ante todo, para comprenderlas hay que estar dispuesto a rendirse ante las evidencias xD

Me alegro de que al final la entendieras con el ejemplo de octopusmagnificens :)

@Dani: Hombre, teniendo en cuenta que tú eres todo un experto en Martin Gardner no me sorprende que te las sepas todas ;-) De hecho, me decidí a leer este libro cuando revisé en tu blog el homenaje que le hiciste con motivo de su muerte.

Gracias por los halagos, esperemos que por lo menos llegue al mismo número de entradas que la anterior serie y que pueda sacar alguna paradoja que desconozcas, algún día te pillaré, ya verás xDD

@Yunni: Pues desconozco la película de la que hablas, no tenía ni idea de que existía (no tengo mucha cultura cinéfila). Cuando la vea me acordaré de tu comentario :) Gracias por el dato y por pasarte por aquí Yunni.

@Alive: Jeje, no hay nada como experimentar la paradoja por uno mismo ¿verdad? Es sorprendente cuando te pones a jugar con ella y te das cuenta de que una y otra vez acaba saliendo lo que las matemáticas predicen. Me alegro de que la hayas descubierto con este blog.

Saludos y gracias ;-)

@Lucifer, Becario del Mal: Cierto, si le vas contando esta paradoja a todo el mundo alguno puede tomarte por loco xD Aunque con una buena demostración se puden eliminar todas las dudas ;-)

Gracias por comentar, y bienvenido al blog.

Manuel dijo...

Digo yo...si se plantea la cuestión en terminos de fallar en vez de acertar. Habría también más posibilidades de fallar, según este razonamiento.
Por lo tanto, sirve para demostrar una cosa y su contraria. No es falsable por tanto.
Y otra manera de verlo, la operación de sumar las dos probalbilidades no le veo sentido, y es más la opción de no cambiar de decisión debiera sumarse también, por que el no cambiar de puerta es asi mismo la manifestación de una elección con su probabilística añadida. ¿Por qué en un caso hemos de sumar y en el otro no?

elSant0 dijo...

Pues yo no estoy de acuerdo con el planteamiento. Creo que se está cometiendo un gran ERROR en la explicación.

Pondré un par de ejemplos más simple:

1.- Si lanzamos un dado y no sacamos un 6 y volvemos a lanzarlo y no sacamos un 6. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en la tercera tirada? Pues simple, 1/6, porque el último lanzamiento es independiente de las tiradas anteriores.

2.- Si todos los días compramos el mismo nº de lotería, ¿irá aumentando nuestra probabilidad?. No, cada día entran los mismos números al bombo y por tanto todos tienen la misma probabilidad en cada sorteo, sino los números que ya fueron premiados se venderían menos por tener menos probabilidades.

En el caso de la puerta ocurre igual. La 2ª vez que se plantea la elección es independiente de la primera. Primero eligió sobre 3 puertas, por tanto 1/3 de probabilidad de acierto elija la que elija. Luego decide sobre 2 puertas, por tanto 1/2 de probabilidad de acierto elija la que elija (sea la que tomó desde el principio o no).

Salu2

ceheomsk dijo...

My cousin recommended this blog and she was totally right keep up the fantastic work!

nolvadex

elmaquinadeturing dijo...

@elSant0

Buen intento, pero hay un ERROR en tu razonamiento.

La segunda vez que se plantea la elección no es independiente de la primera, pues esa elección se hace sobre dos puertas que han sido seleccionadas previamente de entre tres, y además esta selección no es aleatoria pues se sabe a ciencia cierta que la puerta descartada debe tener detrás una cabra.

Lo único que tendría aquí probabilidad 1/2 sería el suceso "escoger una de las dos puertas", pero estamos estudiando el suceso "escoger la puerta que tiene el coche detrás sabiendo que se ha descartado una de las puertas que tiene detrás una cabra", que es diferente.

Saludos.

elmaquinadeturing dijo...

@elSant0

Buen intento, pero hay un ERROR en tu razonamiento.

La segunda vez que se plantea la elección no es independiente de la primera, pues esa elección se hace sobre dos puertas que han sido seleccionadas previamente de entre tres, y además esta selección no es aleatoria pues se sabe a ciencia cierta que la puerta descartada debe tener detrás una cabra.

Lo único que tendría aquí probabilidad 1/2 sería el suceso "escoger una de las dos puertas", pero estamos estudiando el suceso "escoger la puerta que tiene el coche detrás sabiendo que se ha descartado una de las puertas que tiene detrás una cabra", que es diferente.

Saludos.

filomates dijo...

Desde luego la solución es antiintuitiva, porque tendemos a no tener en cuenta la situación intermedia, la puerta eliminada.
Aquí pongo la dirección web de un simulador de la situación, que permite "hacer el experimento" muchas veces en muy poco tiempo, y convencerse de que la situación no es de 50%:
http://people.hofstra.edu/steven_r_costenoble/MontyHall/MontyHallSim.html
Además pongo la de mi blog, donde se trata también de ese tema:
http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2012/12/paradoja-de-monty-hall.html
Hasta pronto

NeoRaúl dijo...

Yo también soy de los que creo que la probabilidad es del 50%, ya que si en vez de ser tres puertas son por ejemplo un millón, cambiando de puerta no vas a tener un 99,9999% de probabilidades de acertar

Yosmel VD dijo...

es simple el me esta ofreciendo la puerta que dice que esta el premio, y en verdad es para que me aferre a escoger la otra puerta para que pierda, así que la respuesta es que lo que me esta diciendo es la verdad.

Ronald Becerra dijo...

Para entenderlo mejor, imaginemos un juego similar:
Hay tres tarjetas para escoger, y se sabe que sus contenidos respectivos son los siguientes:

————————————————————————————————-
…………………………… TARJETA 1
Tu puerta tiene …………………………………. La otra tiene
……. Cabra …………………………………………. Carro
————————————————————————————————-
…………………………… TARJETA 2
Tu puerta tiene …………………………………. La otra tiene
……. Carro ………………………………………….. Cabra
————————————————————————————————-
…………………………… TARJETA 3
Tu puerta tiene …………………………………. La otra tiene
……. Cabra ………………………………………….. Carro
————————————————————————————————-

Es más probable escoger una tarjeta que diga “Tu puerta tiene Cabra”, porque hay más de ese tipo.

Una vez con la tarjeta en la mano, sin verla, uno podría apostar a que el carro está en la parte de “Tu puerta” o en “La otra”, pero eso no significa que las dos posibles elecciones tengan la misma probabilidad. El hecho de que estés apostando luego de tener la tarjeta en la mano no niega el hecho de que esa tarjeta tiene mayor probabilidad de decir “Tu puerta tiene Cabra”.

Un error común es pensar que todas las posibles elecciones distribuyen su probabilidad equitativamente. Eso es porque nos enseñan la fórmula:

Número de casos favorables / Número de casos posibles

Pero ella sólo se puede aplicar si cada una de las cosas que consideramos como “caso” tiene el mismo peso probabilístico. Por ejemplo, suponemos que la probabilidad de cada posible resultado de un dado es 1/6, porque dicho dado debería estar construido simétricamente. Pero si lanzáramos un dado no balanceado, algún resultado tendería a repetirse más que otro, por lo que la probabilidad no sería 1/6 para cada uno.

Al principio era más probable haber elegido la cabra. En todos los casos en que se elige cabra al principio, la puerta del presentador será la correcta. En cambio, sólo será incorrecta la del presentador en el caso en que aciertas el coche al principio.

A la gente suele confudirle eso de: 2 opciones --> 50% para cada una. Hay que recordar que no se está haciendo una elección aleatoria entre las dos puertas. Si fuera de forma aleatoria, sí se ganaría el 50% de las veces, pero la diferencia es que aproximadamente la mitad de las veces se habría elegido la puerta original, y aproximadamente la mitad se habría elegido la otra puerta. No es eso de lo que se habla. Se dice que se tiene 1/3 de probabilidad de ganar nunca cambiando, y 2/3 de probabilidad cambiando. ¿Se ve la diferencia entre hacer una selección aleatoria entre dos puertas y tener preferencia por alguna de ellas?

Llevándolo a un caso extremo, supongamos que se abren las dos puertas restantes, revelando así el contenido de ellas, y te dan a elegir entre esas dos. Ahí las probabilidades no son 1/2 para cada una. Somos capaces de ver cuál tiene el carro y cuál no, por lo que podemos decir que sus probabilidades son 1 contra 0, a pesar de que son dos opciones. En el problema de Monty Hall, somos capaces de distinguir una puerta que será correcta mayor cantidad de veces que otra. No es una certeza como en el caso extremo, pero entre certeza y desconcierto total hay puntos medios.

Santiago dijo...

He encontrado vídeo explicando el problema de Monty Hall bastante útil, por si alguien no se ha aclarado del todo.
Espero que a alguien le sirva :)

Metajuego dijo...

El problema de Monty Hall es una perfecta muestra de la ilusión de la que se aprovechan los casinos. Como el presentador siempre va a abrir una puerta con una cabra, esa puerta no existe. Ya sabíamos que la iba a descartar. La elección siempre fue entre dos puertas. Por si las dudas, recomiendo este video, lo explica mejor:
https://www.youtube.com/watch?v=qaPg2wALCuc

Alvaro Romero dijo...

Yo tuve una discusión con un amigo y no nos ponemos de acuerdo. Claramente al saber el presentador donde está el premio, tu respuesta condiciona la suya por lo que siempre será mejor cambiar. Sin embargo, imaginemos un hipotético caso en el que el presentador no sabía donde estaba el coche, revela una de las puertas y por casualidad destapa una de las cabras. ¿¿Sigo teniendo más posibilidades cambiando de puerta o da igual?? Y si da igual, ¿podría alguien explicarmelo?

Ronald Becerra dijo...

Para Álvaro Romero: cuando el presentador no conoce las posiciones y por casualidad revela una cabra, cambiar o no da igual. Imaginemos que 99 personas juegan. Aproximadamente 33, que es 1/3, habrán escogido la puerta del carro, y las otras 66 habrán escogido una cabra.

Para las 33 personas del carro, cuando el presentador revele una puerta, ésta siempre tendrá una cabra, porque las otras dos restantes tenían cabra y cabra. En cambio, para las otras 66, aproximadamente con 33 el presentador revelará una cabra y con las otras 33 revelará el carro, por lo que el juego no puede continuar.

Como ves, la misma cantidad de gente tiene carro en su puerta como las que tienen cabra (33 y 33), descartando a las que no pudieron continuar porque el carro fue revelado.

 

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