Paradojas matemáticas (2ª parte) La paradoja de los cuatro hijos

Continuando con nuestra guerra contra la intuición, hoy veremos una paradoja que se presenta muy frecuentemente en la vida diaria, la paradoja de los cuatro hijos. Como dije en anteriores entradas, la lógica matemática nos dará la solución, por muy improbable que sea en un principio. Dicho esto, comencemos con el problema de hoy:

Un día, un joven matrimonio decidió tener hijos. El marido, muy previsor, empezó a echar cuentas y le preguntó a su esposa:

"Querida, ¿cuántos hijos vamos a tener?"

Su esposa, que lo tenía bastante claro, le respondió que quería tener exactamente cuatro vástagos. Su esposo se mostró de acuerdo y empezaron a preparar las habitaciones necesarias para ellos. En ese momento, cuando estaban construyendo una casa lo suficientemente grande para sus cuatro hijos, surgió una nueva duda:

"¿Y qué vamos a tener, niños o niñas? ¿Serán todos del mismo sexo?"

La pareja se puso a reflexionar sobre este nuevo problema: Evidentemente, no había forma humana de saber con exactitud el género de sus futuros hijos, pero podían hacer alguna aproximación sobre la cantidad de niños o niñas que tendrían. La primera conclusión que sacaron fue que lo más extraño sería que los cuatro hijos fueran todos del mismo sexo. Seguramente, de los cuatro tendría que salir alguno diferente.

Pero, ¿cuál sería la cifra más aproximada? ¿Cuántas chicas y chicos era más probable que tuvieran? Su conclusión fue bastante intuitiva: Lo más probable es que tuvieran dos niños y dos niñas, es decir, la mitad. El padre estaba convencido de su decisión. Al fin y al cabo, la posibilidad de que su hijo fuera chico o chica era de un 50%, por lo que estaba claro que debían de tener la mitad de un género y la otra mitad de otro.

Sería como lanzar una moneda: Cada hijo podría ser niño o niña (1/2 de probabilidades), así que al final lo más probable sería que, de los cuatro, hubiera dos niñas y dos niños, cumpliéndose así la probabilidad planteada.

¿Estaba en lo correcto? La madre empezó a dudar, pero la lógica que su esposo proponía era aplastante. ¿Tendrían entonces dos niños y dos niñas? ¿O algo estaba fallando en su razonamiento? Y, en caso de que fallara, ¿cuál sería la cifra más probable de chicos y chicas que tendría el matrimonio?



Como ya habréis supuesto, el marido estaba cometiendo un grave error. Antes de seguir, para ver mejor la situación y aclararlo todo, vamos a realizar un esquema en el que se pueden ver todas las combinaciones posibles a la hora de tener cuatro hijos. Las niñas las representaremos con una M (de mujer) y a los niños con una H (de hombre):

M-M-M-M
M-M-M-H
M-M-H-M
M-M-H-H
M-H-M-M
M-H-M-H
M-H-H-M
M-H-H-H
H-M-M-M
H-M-M-H
H-M-H-M
H-M-H-H
H-H-M-M
H-H-M-H
H-H-H-M
H-H-H-H

Esta aclaradora tabla da como resultado un total de 16 diferentes combinaciones. Ahora, para demostrar la falsedad del enunciado del marido, basta con contar las posibilidades.

En primer lugar, vemos que la posibilidad de que los cuatro hijos sean del mismo sexo es de 2/16 (es decir, sólo tienen un 12'5% de posibilidades). Por lo tanto, su primera premisa era correcta.

Sin embargo, la propuesta principal de la pareja falla estrepitosamente. Vamos a contar las veces que se repite una combinación de dos chicas y dos chicos. Como resultado, obtendremos 6/16, es decir, sólo hay un 37'5% de posibilidades de tener una pareja de cada sexo, mientras que nuestra intuición decía que esto era lo más probable.

Entonces, ¿qué es lo más normal en un matrimonio con cuatro hijos? Aunque resulte difícil de creer, si contamos las opciones en la tabla obtendremos como resultado que las posibilidades de tener un hijo de un sexo y otros tres de diferentes sexo (es decir, un niño y tres niñas, o una niña y tres niños) es lo más normal, ya que obtenemos 8/16, es decir, un 50% de probabilidades.

Resumiendo, esta sencilla tabla demuestra que la mitad de los matrimonios con cuatro vástagos tendrán un hijo y tres niñas o una hija y tres niños. De nuevo, nuestra primera impresión ha fallado.

Por supuesto, también podemos demostrar esta paradoja de forma experimental, usando para ello una moneda. Imaginemos que si sale cara, tenemos un chico, y si sale cruz una chica. Tras lanzar la moneda cuatro veces seguidas durante varias rondas, acabaremos viendo que lo más habitual es que ocurra lo que hemos predicho aquí, mediante las matemáticas.

Esta curiosa paradoja que tantas veces se nos presenta en nuestro día a día fue propuesta por Martin Gardner en 1959, cuando publicó un problema similar en la revista Scientific American. Esta paradoja tiene distintas variantes, pero todas ellas se pueden resolver fácilmente mediante el método propuesto en este post, que aclarará cualquier fallo en nuestra forma de razonar.

PD: Esta entrada es mi segunda participación al VII Carnaval de Matemáticas, iniciativa que en esta ocasión organiza el blog "El máquina de Turing".

Fuentes

¡Ajá! Paradojas que hacen pensar - Martin Gardner
1ª imagen
2ª imagen (propia)
3ª imagen

17 comentarios:

Dani dijo...

Claro, todo esto sin tener en cuenta que a veces vienen de dos en dos :-D

Muy bien explicada, Cendrero. Esta serie es muy divertida.

Cendrero (Adm. El Busto de Palas) dijo...

@Dani: También, también xD De hecho, en su libro, Martin Gardner ponía como ejemplo una familia de gatos, para organizar todos los hijos de una sola vez :-)

Gracias Dani, ojalá esta serie tenga una buena acogida y no se haga pesada, a ver cuánto dura antes de que me de un arrebato y me ponga con otra diferente xDD

Saludos.

Yunni dijo...

Cendrero (y señor Gadner), me da miedo “enfrentarme” a mis maestros, pero a veces me toca cuando no entiendo. Me parece que sus análisis son perfectos, pero el problema es que están partiendo con dados “cargados” (se los dice alguien muy tramposo). Es decir, me parece que han pasado por alto y/o idealizado muchas variables. Para empezar, y muy superficialmente, uno de los dados “cargados” están en los espermatozoides que tienen diferente carga de cromosomas sexuales: Uno “X” y el otro “Y”. El “Y” es más ligero y por eso tiende a llegar más rápido al ovulo que el “X”.

Luego las estadísticas deberían dar nacimientos masculinos ligeramente mayores que los masculinos. PERO, es que hasta aquí solo hemos tenido en cuenta esta variable, Y HAY MUCHAS MÁS. Para este matrimonio no hemos tenido en cuenta, por ejemplo, que los hombres biológicamente somos más débiles que las mujeres y por eso hay mayor tendencia a que nos aborten. Otra variable, es saber si este matrimonio vive en zonas tropicales o no (variable: temperatura). Porque si viven en estas zonas, las estadísticas dicen que nacen más niñas que niños: http://www.nortecastilla.es/20090423/vida/nino-nina-cuestion-latitud-20090423.html

Ahora voy a aclararme –por si ha surgido la confusión- porque hay ligeramente más mujeres que hombres en el mundo. Para empezar estamos aquí discutiendo nacimientos, por lo que pueden nacer -en cierta zona- ligeramente más hombres, pero mueren más hombres que mujeres (no solo por la debilidad que he dicho, sino también por la tendencia violentamente mortal del hombre, ya sea por tendencias culturales o biológicas: http://www.laflecha.net/canales/ciencia/200407262 ). También como ya dije, en las zonas tropicales nacen más mujeres que hombres. Y como sabemos, en estas zonas hay más gente y se concentran los países más pobres del mundo, con todas las consecuencias que esto significa para el nacimiento y vida del hombre, a saber: más abortos masculinos, más hambre y enfermedades que el hombre del primer mundo, más ignorancia (pues le es más difícil la educación), y esto último a su vez trae mayor tendencia religiosa, lo cual a su vez incluye mayor abuso sobre la mujer (como el que se someta al hombre y le tenga más hijos) y mayor comportamiento violento peligrosamente mortal. Entre otras tendencias que explican este ciclo.

................................ dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
fifti dijo...

Perdón por lo puntos suspensivos,ya los he quitado.

elmaquinadeturing dijo...

@Yunni

Yunni, los datos que aportas están muy bien, pero no contradicen la paradoja expuesta por Cendero.

La clave del asunto está en que cuando nos preguntamos cuál es la configuración más probable de hijos e hijas consideramos el tener un hijo y tres hijas como un caso diferente al de tener una hija y tres hijos, y eso no es cierto, ya que la configuración es "uno de un sexo, tres de otro" en ambos casos. Sin haberlo estudiado en profundidad, me atrevería a afirmar que el hecho de que la probabilidad de tener un hijo o una hija no sea exactamente del 50% no tiene tanta influencia en el caso como para desmontar la paradoja.

Por otro lado, el hecho de que en el mundo haya más hombres que mujeres tiene una explicación puramente probabilística: si se lanza una moneda equilibrada un número muy grade de veces, digamos un mil, es altamente improbable que en el lanzamiento 999 hayan salido tantas caras como cruces. De hecho lo normal es que uno de los resultados haya aparecido más veces que el otro, a pesar de que ambos son equiprobables. Aunque existan otras explicaciones al hecho de que haya más hombres que mujeres actualmente en el mundo, la probabilística ya me resulta suficientemente convincente.

Saludos!

Pablo dijo...

Fallé estrepitosamente! XD

Muy bueno Cendero. Gracias por traernos esta paradoja.

Oscillator dijo...

Como era de esperarse, fallé estrepitosamente. Después de un análisis me di cuenta de que no entendí adecuadamente la pregunta la primera vez que la leí. La pregunta inicial es "¿Serán todos del mismo sexo?" y no "¿Qué serán más, niños o niñas?" La respuesta a ambas preguntas es muy diferente. Plantearé un analis alternativo partiendo de la segunda pregunta.

En este segundo caso definitivamente no podemos agrupar las posibilidades sin considerar el sexo, es decir 4 niños y 4 niñas son eventos diferentes de la misma manera que 3 niños/1 niña y 3 niñas/1 niño lo son. Para no hacer el cuento largo las cosas quedan así:

4 niñas 0 niños: 1/16 -> 6.25%
3 niñas 1 niño : 4/16 -> 25.0%
2 niñas 2 niños: 6/16 -> 37.5%
1 niña 3 niños: 4/16 -> 25.0%
0 niñas 4 niños: 1-16 -> 6.25%

En este caso nuestra propuesta inicial es la que obtiene la mayor de las probabilidades.

A mi parecer el error de nuestra respuesta para la primera pregunta se debe a que no entendemos, al menos en primera instancia, los detalles detrás de la pregunta; especialmente el hecho de que 4 niñas y 4 niños son posibilidades que caerán dentro de la misma categoría.

Excelente artículo, muy bien explicado!

Saludos desde Guadalajara, México.

Oscillator dijo...

Continuación del comentario anterior. Me entró un poco la curiosidad de si este patrón se repite para cualquier número de hijos. Esta es la respuesta para mi análisis alternativo para hijos de 3 a 8:

**** 3 HIJOS ****
0 ninos, 3 ninas: 1/8 -> 12.5%
1 ninos, 2 ninas: 3/8 -> 37.5%
2 ninos, 1 ninas: 3/8 -> 37.5%
3 ninos, 0 ninas: 1/8 -> 12.5%

**** 4 HIJOS ****
0 ninos, 4 ninas: 1/16 -> 6.25%
1 ninos, 3 ninas: 4/16 -> 25.0%
2 ninos, 2 ninas: 6/16 -> 37.5%
3 ninos, 1 ninas: 4/16 -> 25.0%
4 ninos, 0 ninas: 1/16 -> 6.25%

**** 5 HIJOS ****
0 ninos, 5 ninas: 1/32 -> 3.125%
1 ninos, 4 ninas: 5/32 -> 15.62%
2 ninos, 3 ninas: 10/32 -> 31.25%
3 ninos, 2 ninas: 10/32 -> 31.25%
4 ninos, 1 ninas: 5/32 -> 15.62%
5 ninos, 0 ninas: 1/32 -> 3.125%

**** 6 HIJOS ****
0 ninos, 6 ninas: 1/64 -> 1.562%
1 ninos, 5 ninas: 6/64 -> 9.375%
2 ninos, 4 ninas: 15/64 -> 23.43%
3 ninos, 3 ninas: 20/64 -> 31.25%
4 ninos, 2 ninas: 15/64 -> 23.43%
5 ninos, 1 ninas: 6/64 -> 9.375%
6 ninos, 0 ninas: 1/64 -> 1.562%

**** 7 HIJOS ****
0 ninos, 7 ninas: 1/128 -> 0.781%
1 ninos, 6 ninas: 7/128 -> 5.468%
2 ninos, 5 ninas: 21/128 -> 16.40%
3 ninos, 4 ninas: 35/128 -> 27.34%
4 ninos, 3 ninas: 35/128 -> 27.34%
5 ninos, 2 ninas: 21/128 -> 16.40%
6 ninos, 1 ninas: 7/128 -> 5.468%
7 ninos, 0 ninas: 1/128 -> 0.781%

**** 8 HIJOS ****
0 ninos, 8 ninas: 1/256 -> 0.390%
1 ninos, 7 ninas: 8/256 -> 3.125%
2 ninos, 6 ninas: 28/256 -> 10.93%
3 ninos, 5 ninas: 56/256 -> 21.87%
4 ninos, 4 ninas: 70/256 -> 27.34%
5 ninos, 3 ninas: 56/256 -> 21.87%
6 ninos, 2 ninas: 28/256 -> 10.93%
7 ninos, 1 ninas: 8/256 -> 3.125%
8 ninos, 0 ninas: 1/256 -> 0.390%

La tendencia se conserva y es cuando la mitad son hijos y la mitad son hijas que la probabilidad es más alta. Nótese como en los casos impares la mayor probabilidad se comparte por los los valores centrales. Además, nótese como con el aumento de número de hijos la mayor probabilidad decrece. Por ejemplo para 24 hijos estos son los valores centrales:

10 ninos, 14 ninas: 1961256/16777216 -> 11.68%
11 ninos, 13 ninas: 2496144/16777216 -> 14.87%
12 ninos, 12 ninas: 2704156/16777216 -> 16.11%
13 ninos, 11 ninas: 2496144/16777216 -> 14.87%
14 ninos, 10 ninas: 1961256/16777216 -> 11.68%

Saludos!

Yunni dijo...

@elmaquinadeturing

Señor Turing, gracias por su atención. Tal vez no fui muy claro: Yo no he dicho que en el mundo haya más hombres que mujeres, sino todo lo contrario: En total, en todo el mundo, hay ligeramente más mujeres que hombres. Lo cual no debe confundirse con: En total, en todo el mundo, hay ligeramente más NACIMIENTOS de niñas que de niños.

Lo cual, creo y con todo respeto, contradice lo que afirman mis maestros Cendrero y el señor Gadner ¿Por que? Por lo que dije al principio, el método de ellos fue perfecto, pero pasaron por alto y/o idealizaron muchas variables, por ejemplo(voy a colocar solo las variables que terminan ganándole a las otras. Esto con el fin de ser más claro, pues en mi anterior comentario por intentar ser más profundo, perdí claridad. Sin embargo, creo ningún comentario es falso, ni aquí me estoy retractando, solo intento ser más claro):

-Somos biológicamente más débiles que las mujeres, por lo que es más fácil que nos aborten.

- En las zonas tropicales donde se concentra la mayoría de la población, nacen más niñas que niños.

Javier dijo...

Yo creo que se está repitiendo posibilidades (porque el orden no influye, sólo en número de hijos de cada sexo). Por ejemplo, la opción MMMH y MMHM es la misma.
Sólo hay 5 posibilidades:
MMMM
MMMH
MMHH
MHHH
HHHH

Lucifer, Becario del Mal dijo...

En una distribución binomial
P(x)=C(n,x)*(p^x)*((1-p)^(n-x))
con n=4, p=0,5 y 'x' el número de niños (o niñas) a escojer. Se puede demostrar para cualquier número 'n' que con p=0,5 el valor para x=n/2 es menor que la suma de los dos vecinos x=(n/2)+1 i x=(n/2)-1

Manuel dijo...

La respuesta a la pregunta formulada en los términos expuestos es exacta. Sin embargo, si lo que quiere el matrimonio, es preparar con antelación las habitaciones diferenciadas según lleguen niños o niñas, lo más efectivo es planificar 2 de niño y 2 de niña, para reducir las posibilidades de tener que remodelarlas después.

Kinezoe dijo...

@Javier
El orden no influiría si considerásemos que todos los hijos se tienen a la vez, pero como lo habitual es tener los hijos de uno en uno (lógicamente, esto también es discutible), esas cinco posibilidades que efectivamente mencionas para el caso de cuatro vástagos no son equiprobables entre sí, como queda patente en la resolución propuesta. Es una problema de variación con repetición.

Desde un punto de vista matemático está perfectamente enunciado y resuelto, y considero que tiene un gran valor pedagógico. Ahora bien, está claro que el problema podría complicarse todo lo que quisiéramos con el fin de hacerlo más y más aproximado a la realidad; es tan sólo cuestión de seguir añadiendo variables...

Un saludo a todos.

Alive dijo...

Fantástico artículo; esta serie está destrozando por completo mi intuición xD.

Saludoss.

Eternauta dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Ale dijo...

yo no entiendo mucho de números ni nada!! solo quiero decir que luego de 4 hijos hombres (cuatro embarazos) ha llegado nuestra tan esperada hija!! y estamos felices!!

 

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